主要思路
这些 3000+ 题目里做过最小清新的。
首先肯定可以想到，分解质因子之后，对于一个 \(p^c\)，把每个元素该质因子的指数拿出来做中位数即为此质因子的贡献。我大概想到这里就断片了。
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首先肯定可以想到，分解质因子之后，对于一个 \(p^c\)，把每个元素该质因子的指数拿出来做中位数即为此质因子的贡献。我大概想到这里就断片了。
Continue reading →就这？思博题。
总觉得做过啊。答案很显然跟字符无关，我们需要固定最左边的子序列，然后枚举最后一位，得出结论（子序列 \(T\)、目标串长 \(n\)）：
\[ ans = \sum_{i = |T|}^n 25^{i – |T|} \times 26^{n – i} {i – 1 \choose k – 1} \]
考虑把 \(n\) 提出来：
\[ ans = 26^n \sum_{i = |T|}^n 25^{i – |T|} \times 26^{-i} {i – 1 \choose k – 1} \]
发现一个重要性质：\(\sum |T| \leq 10^5\)，所以对于不同的 \(|T|\)，最好情况下个数为 \(\Theta(\sqrt{n})\)。那么既然 \(n\) 可以被独立出来，那么最后复杂度就是 \(\Theta(|T|\sqrt{n})\)。
Continue reading →刚看这题我人都是懵的…仔细看了看能大概想到，定一个根然后做 DP 得到方案，然后对于相同形态的子树进行方案分配即可。（但是不会写）
具体而言，转换成有根树的方法就是用重心来做根（如果有两个重心的话，就加一个虚根），并且每次 DFS 完之后用 Hash 值排序，然后进行分组转移。
转移的时候，可以给每一种情况进行标号，然后用前缀的组合意义来做转移即可。具体：\( dp[i] = \sum_{uniqueType \in subtree} {dp[uniqueType] + |subtree| – 1 \choose |subtree|} \)。
如果加了虚点，那就判一下就好了。
Continue reading →真难。
简单来讲，题目要求满足\(\{x_i \mod m \in [1, m – 1]\}\)的\(k\)元组个数。我们可以先把\(x_i\)全部模上一个\(m\)，然后令\(A = \sum_{i = 1}^k (x_i \mod m)\)（注意，\(A\)并没有被整体取模，只是各项余数之和），可知\(A \mod m = n \mod m\)，且\(A\)的上限就是\(A = k(m – 1)\)（各项上限）。
我们做了这样一个设置之后，问题就可以转换为：对于每一个不同的\(A\)，满足\(A \mod m = n \mod m\)且\(A = \sum_{i = 1}^k (x_i \mod m), \forall i, x_i \in [1, m – 1]\)的\(k\)元组方案数。首先，我们可以先枚举每一个\(A\)来缩小问题的范围，根据\(A\)所满足的条件，可以这样遍历\(i\)来获得每一个\(A\)：
这道题很有意思。首先搞一个 \(DP\) 来算出不同长度的不降子序列的个数，方程为：
\[ f[i, j] = \sum_{k < i, a_k \leq a_i} f[k, j – 1] \]
发现可以用树状数组优化，所以这里的复杂度为\(O(n^2 \log n)\)。设\(g[i] = \sum_{i = 1} f[i, n]\)，考虑对答案的贡献。对于一个\(i\)，有\(g[i] * (n – i)!\)种方案做变换，但是考虑这\((n – i)!\)中包含了提前变换完成的可能，也就是在我们从合法序列中删去了合法元素的可能，这样肯定是不行的。考虑进行容斥，贡献就是\(g[i](n-i)! – g[i+1](n – i – 1)!(i + 1)\)，表示在这些里选择\(i+1\)个合法元素的方案。
其实这道题是一道大水题。我们知道成立条件为\(x_l \text{ xor } x_{l+1} \dots x_{mid} = x_{mid+1} \text{ xor } x_{mid+2} \dots x_{r}\)，然而这个运算可以直接移项：因为\(xor\)是自己本身的逆运算。然后为了保证\(r-l+1\)为偶数，我们只需要在 Trie 树末端维护奇偶计数即可。