简述
树的结构让某些数据难以直接快速合并，所以就有了树上启发式合并，一种把合并时间为\(O(n)\)优化成\(O(\log n)\)的神奇方式。如果您先前学习过树链剖分，那么学习树上启发式合并就非常简单了。
LCT 的一类题目
LCT 简述
LCT (Link Cut Tree) 是一种维护树链的灵活的数据结构。与线段树不同的是，LCT 一般使用 Splay 这种非常优雅、灵活的数据结构来维护树链。因为 LCT 支持动态增边、删边，所以很多题目就可以打破一些限制进行求解。
「Fortuna OJ」Jul 6th – Group B 解题报告
A – 调整 Tweak
这道题我在考场上打了一个错解，还骗到了 30 分。
正常的思路是：在最短路图上找到几个边进行修改。然而，最优的解决方案并不一定出现在最短路图上的边上，也可以通过修改次优边进行解决。所以，这道题其实跟最短路没什么太大关系，即使后面会用到 Djisktra 来求最短路。
我们可以把一个\(G(V, E), |V| = n, |E| = m\)复制\(n\)份，然后对于第\(k\)份图中的有向边\((u_k, v_k, w_k)\)，可以生成一个副本来连接下一层的目标点，也就是每一条边会派生出\((u_k, v_{k + 1}, 0)\)，当最后求最短路时，经过这样的一条边可以被认为是修改一条边，且，这个边是单向向下的，所以不会出现同一层修改多次的情况。最后只需要求这张图的最短路，然后判定满足\(dist[n_k] \leq c\)的最小\(k\)就行了。
Cayley 定理 & 扩展 Cayley 定理
Cayley 定理
结论 节点个数为\(n\)的无根标号树的个数为\(n^{n-2}\)。
这个结论在很多计数类题目中出现，要证明它首先需要了解 Prufer 序列的相关内容。接下来给出证明。
树上差分
初步认识树上差分
学习树上差分的前提是：
- 最近公共祖先（LCA）
- 线性差分
学习了这些之后，我们就可以开始学习树上差分了。树上差分的思想跟差分类似：都是在不得不求前缀和的情况下，将区间操作变为单点操作，降低复杂度。树上差分曾两次在 NOIp 系列比赛中出现过，所以学习树上差分很有必要（我怀疑是出题组不敢出树链剖分，但又要考察选手们对树上操作的熟悉程度，所以采用了这么个坑爹玩意）。我们先来学习一个基本的操作：点的链上区间加。