P3349:[ZJOI2016]小星星 – 题解

主要思路

怎么毫无头绪啊?(wtcl)不过有一说一,题目是真的挺好。

有一种接近正解的方式是设置 DP,设 \(dp[u][i][stat]\) 为当前在点 \(u\)、编号为 \(i\) 且被用过的编号集合为 \(stat\),然后做一个树形 DP。不难分析出这个东西的复杂度是 \(\Theta(n^3 3^n)\)。

这个肯定过不了的,考虑进行玄学优化。假设转移时能去掉第三个限制就好了。我们考虑抛弃这个第三维。抛弃之后必须要面对的一个问题就是非法状态。我们可以考虑硬点一个点集,使得整个 DP 的时候只能选点集内的编号。发现这样答案的意义是至少有 \(i\) 个重叠选择的点的方案数,所以我们可以愉快的套一个 \((-1)^{n – |S|}\) 系数就可以的出恰好为 \(0\) 个重叠选择的方案数了。

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