快速入门
首先，需要学习最值反演和二项式反演，式子如下：
\[ \max(S) = \sum_{T \subset S} (-1)^{|T| – 1} \min(T) \\ f_i = \sum_{j = 0}^i {i \choose j} g_j \Leftrightarrow g_i = \sum_{j = 0}^i (-1)^{i – j} {i \choose j} f_j \]
然后，你需要对反演和容斥有一定的理解，能理解容斥系数的意义。
首先，需要学习最值反演和二项式反演，式子如下：
\[ \max(S) = \sum_{T \subset S} (-1)^{|T| – 1} \min(T) \\ f_i = \sum_{j = 0}^i {i \choose j} g_j \Leftrightarrow g_i = \sum_{j = 0}^i (-1)^{i – j} {i \choose j} f_j \]
然后，你需要对反演和容斥有一定的理解，能理解容斥系数的意义。
记公式：
Or operation:
arr[k + step] += opt * arr[k]
And operation:
arr[k] += opt * arr[k + step]
Xor operation:
A = arr[k], B = arr[k + step]
arr[k] = A + B, arr[k + step] = A - B
with inverse-operation, the inv2 is needed:
arr[k] /= 2, arr[k + step] /= 2;
这算是广义后缀自动机的一个通用(general)运用。我们可以像统计多个串一样来做这个，只不过我们需要在树上 DFS 时记录分岔点的 SAM 节点，然后进行回溯。剩下计算本质不同字串个数的方法就很套路了。
先写出答案的式子：
\[ \prod_{i = 1}^n \prod_{i = 1}^m f(\gcd(i, j)) \]
老套路，枚举公约数：
\[ \prod_{d = 1}^{\min(n, m)} f(d)^{\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m [gcd(i, j) = d]} \]
首先来一波正常套路，把枚举项变成\(\gcd\)。
\[ \begin{aligned} \prod_{i = 1}^n \prod_{j = 1}^n \frac{lcm(i, j)}{gcd(i, j)} &= \prod_{i = 1}^n \prod_{j = 1}^n \frac{ij}{gcd(i, j)^2} \\ &= \prod_{d = 1}^n d^{\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n [\gcd(i, j) = d]} \end{aligned} \]