定义

对于一个函数\(f(x)\)，如果该函数在其定义域上处处可导，则可以写成一个多项式函数（也就是这个函数的泰勒展开）。一般的，我们有：

\[ f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x – x_0)^n \]

当\(x_0 = 0\)时，这个式子亦成为麦克劳林级数。

推导

考虑\(x_0 = 0\)的情况（事实证明，\(x_0\)不会影响推论）：泰勒的思想就是通过构造一个多项式函数来无限接近一个任意函数，只要\(n\)取得越大那么就越贴近原来的函数。我们设要接近的函数\(f(x)\)，设多项式函数为\(g(x)\)。我们考虑设这个多项式函数为：

\[ g(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n x^n \]

要求出这个多项式函数，最重要的就是求出\({a_n}\)。如果从微积分的角度来考虑这个问题，我们就会发现多阶微分就可以为我们提供足够的信息。

我们思考这两个函数之间一定要满足的条件，首先，我们取\(x=0\)，那么肯定有：

\[ f(0) = g(0) \]

这个是毋庸置疑的。我们展开后发现：

\[ f(0) = a_0 \]

所以我们得到了第一个系数的信息。现在我们考虑微分带来的信息，先列出一阶导数的情况，在列出其他阶导数的情况：

\[ f'(0) = g'(0), f'(0) = a_1 \\ f”(0) = g”(0), f”(0) = 2a_2 \\ f”'(0) = g”'(0), f”'(0) = 6a_3 \\ \dots \]

这个规律很显然，考虑求导基本公式就能理解\(f^n(0) = (n!)a_n\)。所以，反过来，可以得到：

\[ a_n = \frac{f^n(0)}{n!} \]

带回原式：

\[ g(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^n(0)}{n!} x^n \]