主要思路
这个题看上去像是 \(\Theta(n^3)\) 的。一眼想到设置 \(dp[i][a][b][c]\) 进行转移，然而发现不仅空间开不下而且还需要额外的时间。
考虑设计 \(dp[a][b][c]\)，其中 \(a, b, c\) 为 \(R, G, B\) 出现的最晚时间，显然有 \(i = \max(a, b, c)\)。通过这个，我们可以遍历一下要求然后做转移。
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考虑设计 \(dp[a][b][c]\)，其中 \(a, b, c\) 为 \(R, G, B\) 出现的最晚时间，显然有 \(i = \max(a, b, c)\)。通过这个，我们可以遍历一下要求然后做转移。
Continue reading →先考虑莫比乌斯反演？
\[ \begin{aligned} ans &= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n f(\gcd(i, j))^k \\ &= \sum_{d = 1}^n f(d)^k \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n [\gcd(i, j) = d] \end{aligned} \]
经典化简：
\[ \begin{aligned} ans &= \sum_{T = 1}^n \lfloor \frac{n}{T} \rfloor^2 \sum_{x|T} \mu(x) f(\frac{T}{x})^k \end{aligned} \]
我们可以对这个 \(\lfloor \frac{n}{T} \rfloor^2\) 进行整除分块，所以问题的重心转移到了求后面那个 Dirichlet 卷积的前缀和身上。
Continue reading →这个处理方式很妙啊。根据 yyb 的博客介绍，这种处理方式被称作是「最大值分治」。
我们可以考虑设计状态 \(dp[i][j]\) 为长度为 \(i\)、最大值不超过 \(j\) 的方案数。那么，我们可以枚举一个 \(k\) 作为 \(j\) 的位置，然后强制这个 \(k\) 在这一段里面是最右边的 \(j\)，具体写出转移就是：
\[ dp[i][j] = dp[i][j – 1] + \sum_{k = 1}^i dp[k – 1][j] \times dp[i – k][j – 1] \times w^c \]
注意右侧的 \(dp[i – k][j – 1]\)，可以保证该位置为最右侧的 \(j\)，这样就不会算重复了。其中 \(c\) 是当前序列里包含这个数的区间个数，画个图，算最右和最左的区间左边缘之差即可。
Continue reading →妈卖批，完全想偏了。刚开始思考的时候以为是要搞一颗有根的、根到叶子路径都满足递增。
后面发现其实这个图也有可能是个 DAG，而且树的话可能会因为 K 的限制没法搞。所以，我们就可以直接路径覆盖然后求最小费用即可。
Continue reading →首先先把 \(y\) 除掉一个 \(x\)，并且我们发现可以用 \(2^{t – 1}\) 来算这个和为 \(y\) 的数列的个数。
知道这个之后，我们发现可以枚举 \(\frac{y}{x}\) 的质因子情况进行容斥。
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