今天被各路神仙吊打，顺利 gg。
在考场上我推了个有后效性的 DP，还以为是高斯消元，然后看到数据范围就 GG 了。这道题主要是把一些东西给转换掉了。
首先，对一个概率为\(p\)的事件，它的期望次数是\(\frac{1}{p}\)（参见这里）。然后，考虑一个状态\(dp[i]\)代表合成第\(i\)级武器的期望花费。显然\(dp[0] = a\)。
考虑\(dp[1]\)的求法，首先需要两个级别为\(0\)的武器，然后发现无论失败与否都可以保证至少又一个\(0\)级武器，所以我们只需要注意另外一个武器的花费就可以了：
\[ dp[1] = dp[0] + dp[1] \times \frac{1}{p} \]
这道题在 JZOJ 上面开 10s，遂 AC。
// A.cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX_N = 60100;
struct point
{
int x, y, prop, id;
bool operator<(const point &pt) const { return prop < pt.prop; }
} nodes[MAX_N], *cur[MAX_N];
int n, m;
char opt[10];
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d%d%d", &nodes[i].x, &nodes[i].y, &nodes[i].prop), nodes[i].id = i;
sort(nodes + 1, nodes + 1 + n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
cur[nodes[i].id] = &nodes[i];
while (m--)
{
scanf("%s", opt + 1);
int x, y, x_, y_, k;
if (opt[1] == 'Q')
{
scanf("%d%d%d%d%d", &x, &y, &x_, &y_, &k);
bool flag = false;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (nodes[i].x <= max(x, x_) && nodes[i].x >= min(x, x_) && nodes[i].y <= max(y, y_) && nodes[i].y >= min(y, y_))
{
k--;
if (k == 0)
{
printf("%d\n", nodes[i].prop), flag = true;
break;
}
}
if (!flag)
puts("It doesn't exist.");
}
else
{
scanf("%d%d", &x, &y), x++, y++;
swap(cur[x]->x, cur[y]->x), swap(cur[x]->y, cur[y]->y);
swap(cur[x]->id, cur[y]->id), swap(cur[x], cur[y]);
}
}
return 0;
}
二项式反演的主要内容就是：
\[ f_n = \sum_{i = 0}^n (-1)^i {n \choose i} g_i \longleftrightarrow g_n = \sum_{i = 0}^n (-1)^i {n \choose i} f_i \]
这个反演的式子非常的优美：在这种形式下，它们是对称的。当然，亦可以写作：
\[ f_n = \sum_{i = 0}^n {n \choose i} g_i \longleftrightarrow g_n = \sum_{i = 0}^n (-1)^{n – i} {n \choose i} f_i \]
真的是玄妙重重。
我们先思考正常的暴力搜索：枚举每一次按下的颜色，然后检查继续更新。考虑用 IDA* 优化这个过程，首先估值函数就是剩下的颜色个数，因为至少需要更新这些颜色才有可能到达最终状态。然后注意控制 BFS 求连通块的个数的优化就行了。很好的一道题。
如果我们知道\(\{ f_n \}, \{ g_n \}\)有这种情况时：
\[ f_n = \sum_{i = 0}^n a_{ni} g_i \]
那么我们就可以用已知的\(f_0, f_1, \dots, f_n\)的值来求出\(g_n\)：
\[ g_n = \sum_{i = 0}^n b_{ni} f_i \]
上面这种求值方式叫做反演。
对于一个函数\(f(x)\)，如果该函数在其定义域上处处可导，则可以写成一个多项式函数（也就是这个函数的泰勒展开）。一般的，我们有：
\[ f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x – x_0)^n \]
当\(x_0 = 0\)时，这个式子亦成为麦克劳林级数。