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OI/数学

二项式反演

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对称的反演

二项式反演的主要内容就是:

\[ f_n = \sum_{i = 0}^n (-1)^i {n \choose i} g_i \longleftrightarrow g_n = \sum_{i = 0}^n (-1)^i {n \choose i} f_i \]

这个反演的式子非常的优美:在这种形式下,它们是对称的。当然,亦可以写作:

\[ f_n = \sum_{i = 0}^n {n \choose i} g_i \longleftrightarrow g_n = \sum_{i = 0}^n (-1)^{n – i} {n \choose i} f_i \]

OI/数学

反演基础

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定义

如果我们知道\(\{ f_n \}, \{ g_n \}\)有这种情况时:

\[ f_n = \sum_{i = 0}^n a_{ni} g_i \]

那么我们就可以用已知的\(f_0, f_1, \dots, f_n\)的值来求出\(g_n\):

\[ g_n = \sum_{i = 0}^n b_{ni} f_i \]

上面这种求值方式叫做反演

数学

泰勒展开

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泰勒展开

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定义

对于一个函数\(f(x)\),如果该函数在其定义域上处处可导,则可以写成一个多项式函数(也就是这个函数的泰勒展开)。一般的,我们有:

\[ f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x – x_0)^n \]

当\(x_0 = 0\)时,这个式子亦成为麦克劳林级数。

OI/数学

多项式求逆

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多项式求逆

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前置技能

FFT、NTT、多项式乘法。

原理推理

现在我们有一个这样的式子:

\[ A(x)B(x) \equiv C(x) \ (mod \ x^n) \]

现在我们已知\(B(x), C(x)\)的信息,而我们计算答案的时候需要用\(A(x)\)进行运算。这个时候,我们需要求出\(B(x)\)的逆元。多项式求逆元,我们一般是用倍增的方式来求解。假如我们有\(B(x)\)在模\(x^{\lceil \frac{x}{2} \rceil}\)意义下的逆元\(D(x)\):