August 2020 – Kalorona

AFO

一无所有的退役了。

有意思。之前做过一题是用矩阵树+高斯消元插值求本题的一维情况，本打算用继续这么做，后面发现 Lagrange 插值能做到 \(\Theta(n^5)\)，就学了一点新的东西。

首先，要认识到本题矩阵树出来之后可以得到一个二元多项式：

\[ \sum_{i = 0}^{n – 1} \sum_{j = 0}^{n – 1} a_{i, j} x^i y^j \]

这个 \(n \leq 100\)，考虑最后一次插入，然后复原出来即可。

如果你手上有一堆散点，然后你可以用这个公式拟合出一个函数：

\[ f(x) = \sum_{i = 1}^n y_i \prod_{j \neq i}^n \frac{x – x_j}{x_i – x_j} \]

经典题：HDU4085

斜率优化其实不是很难，可以理解为在平面上的一些点作为决策点，而你现在有一条斜率为 \(k\) 的直线，你需要使其经过一个合适的点，使得这条线的截距最大/最小化。这个显然可以使这些点组成一个上/下凸包、然后二分找到斜率相近的那条线段进行转移。