主要思路
这算是广义后缀自动机的一个通用(general)运用。我们可以像统计多个串一样来做这个，只不过我们需要在树上 DFS 时记录分岔点的 SAM 节点，然后进行回溯。剩下计算本质不同字串个数的方法就很套路了。
这算是广义后缀自动机的一个通用(general)运用。我们可以像统计多个串一样来做这个，只不过我们需要在树上 DFS 时记录分岔点的 SAM 节点，然后进行回溯。剩下计算本质不同字串个数的方法就很套路了。
先写出答案的式子：
\[ \prod_{i = 1}^n \prod_{i = 1}^m f(\gcd(i, j)) \]
老套路，枚举公约数：
\[ \prod_{d = 1}^{\min(n, m)} f(d)^{\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m [gcd(i, j) = d]} \]
首先来一波正常套路，把枚举项变成\(\gcd\)。
\[ \begin{aligned} \prod_{i = 1}^n \prod_{j = 1}^n \frac{lcm(i, j)}{gcd(i, j)} &= \prod_{i = 1}^n \prod_{j = 1}^n \frac{ij}{gcd(i, j)^2} \\ &= \prod_{d = 1}^n d^{\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n [\gcd(i, j) = d]} \end{aligned} \]