强连通分量

一些性质

1. 有向图中，每一个点仅属于一个强连通分量。
2. 强连通分量具有传递性。
3. 极大的强连通分量指的是一个强连通分量无法继续扩大。

Tarjan 算法的一些细节

1. 当一个节点的 DFN 和 LOW 相等时，则发现了一个强连通分量，进行弾栈。

一些例题

P2002:消息扩散题解

求割点

类似于之前的 Tarjan 算法，只要\(dfn[u]\leq low[u]\)，就可以认为这个点是一个割点。理解：下游的点无法除了通过点 u 的路径到达上游 dfn 更小的点，那么这个就是割点。但是还需要考虑点\(u\)为根节点的情况，因为如果点\(u\)为根的话，那么只要子树大于二就算是一个割点，因为子树间的联通必须需要根节点作为枢纽。

模板题代码：

// P3388.cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX_N = 20010, MAX_M = 100010;
int head[MAX_N], current, n, m, tmpx, tmpy, low[MAX_N], dfn[MAX_N], tot;
bool ans[MAX_N];
struct edge
{
    int to, nxt;
} edges[MAX_M << 1];
void addpath(int src, int dst)
{
    edges[current].to = dst, edges[current].nxt = head[src];
    head[src] = current++;
}
void tarjan(int u, int fa)
{
    low[u] = dfn[u] = ++tot;
    int child = 0;
    for (int i = head[u]; i != -1; i = edges[i].nxt)
    {
        if (!dfn[edges[i].to])
        {
            tarjan(edges[i].to, fa), low[u] = min(low[u], low[edges[i].to]);
            if (low[edges[i].to] >= dfn[u] && u != fa)
                ans[u] = true;
            if (u == fa)
                child++;
        }
        low[u] = min(low[u], dfn[edges[i].to]);
    }
    if (child >= 2 && u == fa)
        ans[u] = true;
}
int main()
{
    memset(head, -1, sizeof(head));
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        scanf("%d%d", &tmpx, &tmpy), addpath(tmpx, tmpy), addpath(tmpy, tmpx);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (!dfn[i])
            tarjan(i, i);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (ans[i])
            cnt++;
    printf("%d\n", cnt);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (ans[i])
            printf("%d ", i);
    return 0;
}

双联通分量

点双连通分量

概念：在无向图中，对于点对\(u,v\)，在图上删除除\(u,v\)以外的任意一个点，仍然联通，那么称这个点对为点双联通分量。

边双连通分量

概念：在无向图中，对于点对\(u,v\)，在图上任意删除一条边，\(u,v\)仍连通，则称其为边双连通分量。

二分图

https://www.renfei.org/blog/bipartite-matching.html

性质

二分图中，选取最少的点数，使这些点和所有的边都有关联（把所有的边的覆盖），叫做最小点覆盖。

二分图最小点覆盖 = 二分图最大匹配

二分图最大点独立集 = 总点数 – 二分图最大总匹配

例题：[USACO2006NOV]Asteriod，[Usaco2005 jan]Muddy Fields

匈牙利算法

模板地址：P3386 【模板】二分图匹配

bool dfs(int u, int tm)
{
    for (int i = head[u]; i != -1; i = edges[i].nxt)
    {
        int to = edges[i].to;
        if (dfn[to] != tm)
        {
            dfn[to] = tm;
            if ((!match[to]) || dfs(match[to], tm))
            {
                match[to] = u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

我个人认为这个是相当精妙的一个写法，可以将“继续匹配”和“向上协商”完美的结合在一起，非常的优秀。

2-SAT

此模型可以用于求出多个条件约束下变量的解集。可以通过某些矛盾关系推出可行关系做有向边，Tarjan 染色即可。

例题：HDU3062:Party 题解